Trong không gian với hệ trục tọa độ \[Oxyz,\] cho đường thẳng \(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + m + \left( {1 - m} \right)t}\\{y = 1 - 2t}\\{z = - m + \left( {m + 1} \right)t}\end{array}} \right.\) và điểm \(A\left( {1\,;\,\,2\,;\,\,3} \right).\) Khi \[m\] thay đổi, gọi \[d\] là khoảng cách từ \[A\] đến \(\Delta \). Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của \[d\] lần lượt là

Gọi \(M\left( {2 + m + \left( {1 - m} \right)t\,;\,\,1 - 2t\,;\,\, - m + \left( {m + 1} \right)t} \right)\) là điểm nằm trên \(\Delta \).

Khi đó ta có: \({x_M} + {y_M} + {z_M} - 3 = 0\,\,\forall m,\,\,t\) hay \(M\) luôn thuộc mặt phẳng \(\left( P \right):x + y + z - 3 = 0\).

Do đó \(\Delta \) luôn thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\) cố định.

Mặt khác cho \(t = 1\), ta có \(\Delta \) luôn đi qua điểm \(B\left( {3\,;\,\, - 1\,;\,\,1} \right)\).

Khi đó ta có: \({d_{\left( {A,\left( P \right)} \right)}} \le d \le AB \Leftrightarrow \sqrt 3 \le d \le \sqrt {17} \). Chọn D.