Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình 2sin2x+3cos2x=m.3sin2x có nghiệm?

Ta có: 2sin2x+3cos2x=m.3sin2x⇔2sin2x+31−sin2x=m.3sin2x .

Đặt t=sin2x,t∈0;1 . Phương trình đã cho trở thành:2t+31−t=m.3t⇔23t+31−2t=m .

Xét hàm số ft=23t+31−2t , với t∈0;1 . Ta cóf't=23t.ln23−2.31−2t.ln3

f''t=23'.ln232+4.31−2t.ln32>0,∀t∈0;1

 f'(t) liên tục và đồng biến trên [0;1] nên f't≤f'1=23ln29<0,∀t∈0;1 .

f(t) liên tục và nghịch biến trên f1≤ft≤f0,∀t∈0;1  nên .

Suy ra 1≤m≤4  thì phương trình có nghiệm.