Cho đường tròn \(\left( C \right)\) đi qua hai điểm \(A\left( { - 1\,;\,2} \right)\,,\,\,B\left( { - 2\,;\,3} \right)\) và có tâm \(I\) thuộc đường thẳng\[\Delta \,:\,3x\, - \,y\, + \,10\, = \,0\]. Phương trình của đường tròn \(\left( C \right)\) là

Phương pháp giải:

Xác định tọa độ tâm I thuộc đường thẳng \(\Delta \,:\,3x\, - \,y\, + \,10\, = \,0\)

\(\left( C \right)\) có tâm \(I\) qua hai điểm \(A\,,\,B\) nên \(IA\, = \,IB\)

Giải chi tiết:

Ta có:\(I\,\, \in \,\,\Delta \,:\,3x\, - \,y\, + \,10\, = \,0\, \Rightarrow \,I\left( {a\,;\,3a\, + \,10} \right)\)

Vì đường tròn \(\left( C \right)\)đi qua hai điểm \(A\left( { - 1\,;\,2} \right)\)và \(B\left( { - 2\,;\,3} \right)\) nên \(IA\, = \,IB\, = \,R\)

\[\begin{array}{l} \Rightarrow \,I{A^2}\, = \,I{B^2}\\ \Leftrightarrow \,{\left( {a\, + \,1} \right)^2}\, + \,{\left( {3a\, + \,8} \right)^2}\, = \,{\left( {a\, + \,2} \right)^2}\, + \,{\left( {3a\, + \,7} \right)^2}\\ \Leftrightarrow \,{a^2}\, + \,2a\, + \,1\, + \,9{a^2}\, + \,48a\, + \,64\, = \,{a^2}\, + \,4a\, + \,4\, + \,9{a^2}\, + \,42a\, + \,49\\ \Leftrightarrow \,50a\, + \,65\, = \,46a\, + \,53\\ \Leftrightarrow \,4a\, = \, - 12\\ \Leftrightarrow \,a\, = \, - 3\\ \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}a\, = \, - 3\\I\left( { - 3\,;\,1} \right)\\{R^2}\, = \,5\end{array} \right.\end{array}\]

Vậy đường tron \(\left( C \right)\)cần tìm là: \({\left( {x\, + \,3} \right)^2}\, + \,{\left( {y\, - \,1} \right)^2}\, = \,5\)

Chọn D.