Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông với \(AB\, = \,AC\, = \,2\). Cạnh bên SA vuông góc với đáy và \(SA\, = \,3\). Gọi \(M\)là trung điểm của SC. Tính khoảng cách giữa AM và BC.

Phương pháp giải: - Sử dụng: khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách từ đường này đến mặt phẳng song song chứa đường thẳng kia

- Sử dụng: \({\left[ {\left( {\frac{1}{{{{(x - 1)}^2}}}} \right)} \right]^\prime }\) \(d\left( {S\,;\,\left( {AMN} \right)} \right) = \frac{{3{V_{S.AMN}}}}{{{S_{\Delta AMN}}}}\)

Giải chi tiết:

Gọi N là trung điểm của BC ta có MN // BC \( \Rightarrow \)BC // (AMN) \( \supset \)AM

\( \Rightarrow \)d (AM; BC) = d (BC; (AMN)) = d (C; (AMN))

Lại có: SC \( \cap \) (AMN) = M \( \Rightarrow \) \(\frac{{d(C;(AMN))}}{{d(S;(AMN))}} = \frac = 1\)

\( \Rightarrow d(C;(AMN)) = d(S;(AMN))\)

Ta có:

A⁢M=12⁢S⁢C=12⁢S⁢A2+A⁢C2⁢ =12⁢32+ 22⁢ =132⁢⁢ AN=12⁢S⁢B=12⁢S⁢A2+A⁢B2 =12⁢32+ 22 =132MN=12⁢B⁢C=12⁢A⁢B2+A⁢C2⁢ =12⁢.2⁢2⁢ =2

Gọi p là nửa chu vi tam giác AMN ta có  p=132+132+22=13⁢ +22

⇒?Δ⁢A⁢M⁢N=p⁢(p-A⁢M)⁢(p-A⁢N)⁢(p-M⁢N) =224

?S.A⁢M⁢N?S.A⁢B⁢C=S⁢MS⁢C.S⁢NS⁢B=14⇒?S.A⁢M⁢N =14⁢?S.A⁢B⁢CVS.A⁢B⁢C⁢ =13⁢S⁢A.12⁢A⁢B.A⁢C=16⁢.3.2.2=2⇒?S.A⁢M⁢N =14⁢.2=12

Vậy \( \Rightarrow d(AM;BC) = d(S;(AMN)) = \frac{{3{V_{S.AMN}}}}{{{S_{\Delta AMN}}}} = \frac{{3.\frac{1}{2}}}{{\frac{{\sqrt {22} }}{4}}} = \frac{{3\sqrt {22} }}\)

Chọn C.