Trong không gian Oxyz, cho ba mặt phẳng \[\left( P \right):x - 2y + z - 1 = 0,\left( Q \right):x - 2y + z + 8 = 0,\left( R \right):x - 2y + z - 4 = 0\]. Một đường thẳng d thay đổi cắt ba mặt phẳng \[\left( P \right),\left( Q \right),\left( R \right)\] lần lượt tại \[A,B,C\]. Tìm giá trị nhỏ nhất của \[T = A{B^2} + \frac{{A{C^2}}}\]

Đáp án C

Ta có \[\left( P \right),\left( Q \right),\left( R \right)\] đôi một song song và \[\left( P \right)\] nằm giữa \[\left( Q \right),\left( R \right)\].

Kẻ \[BH \bot \left( P \right),BK \bot \left( R \right) \Rightarrow B,H,K\] thẳng hàng.

Điểm \[M\left( {0;0; - 8} \right) \in \left( Q \right).BH = d\left( {M;\left( P \right)} \right) = 3;BK = d\left( {M;\left( R \right)} \right) = 4 \Rightarrow HK = 1\]

Ta có \[\frac = \frac = 3 \Rightarrow AB = 3AC\]

⇒T=9AC2+144AC2≥29AC2.144AC2=72

Dấu “=” xảy ra \[ \Leftrightarrow AC = 2\](thỏa mãn \[AC > HK = 1\]). Chọn C.