Cho biết hàm số y=f(x)=|x2−4x−1+m| có giá trị lớn nhất bằng 3 khi x ∈ [0; 3]. Số các giá trị của tham số m thỏa mãn là

Đáp án đúng là: C

Xét hàm số g (x) = x² - 4x - 1 + m

⇒g'(x)=2x−4 

Ta có: y'=f'(x)=g'(x).g(x)|g(x)|=0 

⇒[g'(x)=0g(x)=0⇔[2x−4=0x2−4x−1+m=0 

⇔[x=2 x2−4x−1+m=0 (*) 

+ TH1: Phương trình (*) không cho nghiệm mũ lẻ. Suy ra f (x) chỉ có một cực trị x = 2

Điều kiện: D = (-2)² - (-1 + m) = 5 - m ≤0

⇔ m ³ 5

Ta xét bảng biến thiên của hàm số y = f (x) trên đoạn [0; 3]

Với m ³ 5 ⇒|m−1|≥|m−4| 

Vậy max[0; 3]f(x)=|m−1|=m−1=3 

Û m = 4 (loại).

+ TH1: Phương trình (*) cho 2 nghiệm mũ lẻ. Suy ra f (x) chỉ có 3 cực trị x = 2, x = x₁ và x= x₂

Điều kiện: D = (-2)² - (-1 + m) = 5 - m > 0

⇔ m < 5

Ta xét bảng biến thiên của hàm số y = f (x) trên đoạn [0; 3]

Với m < 5 nên f(2) > f (0) > f (3)

Kết hợp với dựa vào bảng biến thiên thì f (2) > f (x₁) và f (x₂)

Nên max[0; 3]f(x)=|m−5|=5−m=3 

⇔ m = 2 (thỏa mãn)

Vậy chỉ có 1 giá trị của m thỏa mãn điều kiện bài toán là m = 2.