Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm A(1; 0; 0), B(0; –2; 3), C(1; 1; 1). Gọi (P) là mặt phẳng chứa A, B sao cho khoảng cách từ C tới mặt phẳng (P) bằng 23. Phương trình mặt phẳng (P) là:

Đáp án đúng là: D

Phương trình mặt phẳng (P) có vectơ chỉ phương là AB→=(−1;−2;3) 

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là n→=(A;   B;   C) sao cho:

 n→.AB→=0⇔ (–1).A + (–2).B + 3.C = 0

⇔A = 3C – 2B ⇒n→=(3C−2B;  B;  C) 

Mặt phẳng (P) đi qua A(1; 0; 0) và có Vectơ pháp tuyến là n→=(3C−2B; B; C) có dạng:

 (3C – 2B).(x – 1) + By + Cz = 0

⇔(3C – 2B).x + By + Cz + 2B – 3C = 0

Khoảng cách từ C(1; 1; 1) đến (P) là d với:

d=|(3C−2B).1+B.1+C.1+2B−3C|(3C−2B)2+B2+C2 

=|B+C|5B2−12BC+10C2 

+ Với C = 0 ⇒d=15 (loại)

+ Với C ≠ 0 ⇒d=|BC+1|5(BC)2−12(BC)+10 

Đặt t=BC (t > 0)

Ta có: d=|t+1|5t2−12t+10=23 

Bình phương hai vế, ta được:

3|t + 1|² = 4(5t² – 12t + 10)

⇔ 3.(t² + 2t + 1) = 4.(5t² – 12t + 10)

⇔ 3t² + 6t + 3 = 20t² – 48t + 40

⇔17t² – 54t + 37 = 0

⇔[t=3717t=1 

+ Với  t=3717 , chọn B = 37, C = 17 ⇒A = –D = –23.

Do đó (P): –23x + 37y + 17z + 23 = 0

+ Với t = 1, chọn B = C = 1 ⇒ A = –D = 1.

Do đó (P): x + y + z – 1 = 0.