Cho hàm số y=fx có đạo hàm liên tục trên ℝ và thỏa mãn f0=3 và fx+f2−x=x2−2x+2,∀x∈ℝ. Tích phân ∫02xf'xdx bằng

Đáp án D

Áp dụng công thức tích phân từng phần, ta có ∫02xf'xdx=xfx02−∫02fxdx

Từ fx+f2−x=x2−2x+2,∀x∈ℝ 1

Thay  x=0 vào (1) ta được f0+f2=2⇒f2=2−f0=2−3=−1

Xét ∫02fxdx

Đặt x=2−t⇒dx=−dt,  đồi cận: x=0⇒t=2x=2⇒t=0

Khi đó I=−∫20f2−tdt=∫02f2−tdt⇒I=∫02f2−xdx

I=∫20f(2−t)dt=∫02f(2−t)dt⇒I=∫02f(2−x)dx

Do đó ta có ∫02fx+f2−xdx=∫02x2−2x+2dx

⇔2∫02fxdx=83⇔∫02fxdx=43

Vậy ∫02xf'xdx=xfx02−∫02fxdx=2−1−43=−103.