Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A1;0;0, B0;2;0, C0;0;3 . Gọi M là một điểm thay đổi nằm trên mặt phẳng (ABC), N là điểm nằm trên OM sao cho . Biết rằng khi M thay đổi, điểm N luôn nằm trên một mặt cầu cố định. Bán kính R của mặt cầu đó bằng

Đáp án D

Phương trình mặt phẳngABC:x1+y2+z3=1⇒6x+3y+2z−6=0  .

Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên mặt phẳng (ABC).

Khi đó H cố định và có khoảng cách OH=dO;ABC=−662+32+22=67 .

Từ N dựng mặt phẳng vuông góc với ON tại N, mặt phẳng này cắt OH tại K.

Hai tam giác vuông ΔOHM; ΔONK  đồng dạng với nhau.

Suy ra:OM.ON=OH.OK=12→OK=12OH=14 .

Nhận thấy đường thẳng OH cố định và OK không đổi nên suy ra K cố định. Vậy điểm N luôn nhìn OK một góc 90° không đổi, suy ra quỹ tích điểm N là mặt cầu (S) có đường kính OK.

Bán kính mặt cầu (S) là:R=OK2=7 .