Cho 2 số thực dương x, y thỏa mãn log3x+1y+1y+1=9−x−1y+1. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x + 2y là

Với x, y > 0 ta có:

log3x+1y+1y+1=9−x−1y+1⇔y+1log3x+1y+1=9−x−1y+1

⇔log3x+1+log3y+1=9y+1−x+1⇔log3x+1+x+1=2−log3y+1+9y+1

⇔log3x+1+x+1=log39y+1+9y+1 1.

Xét hàm số ft=log3t+t với t > 0

Ta có: f't=1t.ln3+1>0,∀t>0.

⇒ Hàm số f(t) đồng biến trên khoảng 0;+∞.

Khi đó: 1⇔fx+1=f9y+1⇔x+1=9y+1.

Từ đó suy ra P=x+2y=x+1+2y−1=9y+1+2y+1−3≥29y+1.2y+1−3=−3+62.

Dấu “=” xảy ra ⇔9y+1=2y+1⇔y+12=92⇔y=322−1⇒x=−25+2727 (thỏa mãn điều kiện x, y > 0).

Vậy Pmin=−3+62 khi x=−25+2727;y=322−1.

Chọn D.