Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn 2fx+3f1−x=x1−x, với mọi x∈0;1. Tích phân ∫02xf'x2 bằng

Đáp án C.

Đặt t=x2⇒dt=12dx.

Đổi cận: x=0⇒t=0x=2⇒t=1.

Khi đó tích phẩn cần tính: I=∫012t.f't2dt=4∫01t.f'tdt=4∫01t.dft

 =4t.ft01−4∫01ftdt=4f1−4∫01ftdt(1).

Theo tính chất tích phân có

∫01fxdx=12+3∫012fx+3f1−xdx=15∫01x1−xdx=475 (2).

Thay lần lượt x=0;x=1  vào đẳng thức đã cho có:

 2f0+3f1=02f1+3f0=0⇔f1=f0=0(3).

Kết hợp (1), (2), (3) có I=−1675.