Cho hàm số \[f(x) = \frac\], biết \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(x) + 3}}{x} = 5\] và tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ \[x = 1\] có hệ số góc \[k = \frac{5}{4}\]. Khi đó giá trị của \[a + b + c\] bằng

Lời giải

Ta có \[f'(x) = \frac{{{{(x + c)}^2}}}.\]

Theo bài ra ta có

\[*\,k = f'(1) \Leftrightarrow \frac{5}{4} = \frac{{{{(1 + c)}^2}}}\,\,\,(1).\]

\[*\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(x) + 3}}{x} = 5 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{(a + 3)x + b + 3c}}{{(x + c)x}} = 5 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b + 3c = 0\\\frac{c} = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = - 3c\\a = 5c - 3.\end{array} \right.\]

Thế vào (1) ta được:

\[\frac{{(5c - 3).c + 3c}}{{{{(1 + c)}^2}}} = \frac{5}{4} \Leftrightarrow 20{c^2} = 5({c^2} + 2c + 1) \Leftrightarrow 15{c^2} - 10c - 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 1\\c = - \frac{1}{3}.\end{array} \right.\]

* Với \[c = 1 \to b = - 3;\,a = 2 \to a + b + c = 0.\]

* Với \[c = - \frac{1}{3} \to b = 1;\,a = - \frac{3} \to a + b + c = - 4.\]

Chọn đáp án A