Tìm m để hàm số y=8cosx−6sinx−3sinx−4cosx2−2m có tập xác định là R.

Bước 1:

Ta có: y=8cosx−6sinx−3sinx−4cosx2−2m

Hàm số trên có tập xác định R khi:

8cosx−6sinx−3sinx−4cosx2−2m≥0

⇔24cosx−3sinx−3sinx−4cosx2−2m≥0

Bước 2:

Đặt t = 4cosx − 3sinx

Theo BĐT Bu-nhi-a-cốp-xki ta có:

t2=4cosx−3sinx2≤42+32sin2x+cos2x=25

⇔−5≤t≤5

Bước 3:

Ta có bất phương trình 2t−t2−2m≥0,∀t∈−5;5

⇔−2m≥t2−2t,∀t∈−5;5

Bước 4:

Xét hàm số f(t) = t² − 2t  trên [−5; 5]

Ta có −b2a=1∈−5;5

Vì a = 1 > 0 nên hàm số nghịch biến trên (−∞;1) và đồng biến trên (1;+∞)

Mà (−5;1)⊂(−∞;1) và (1;5)⊂(1;+∞) nên hàm số nghịch biến trên (−5;1) và đồng biến trên (1;5).

Bảng biến thiên:

Bước 5:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy bất đẳng thức (1) xảy ra khi 

−2m≥35⇔m≤−352

Đáp án cần chọn là: A