Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên ℝ thỏa mãn f(1) = 1 và f2x−xfx2=5x−2x3−1 với mọi x∈ℝ. Tính tích phân I=∫12xf'xdx.

Xét I=∫12xf'xdx. Đặt ft+m=1⇔ft+m=1ft+m=−1⇔ft=1−m    1ft=−1−m  2. ta có

I=xfx21−∫12fxdx=2f2−f1−∫12fxdx

     =2f2−1−∫12fxdx

Ta có: f2x−xfx2=5x−2x3−1.f2x−xfx2=5x−2x3−1. Thay x=1⇒f2−f1=2⇒f2=3.

⇒I=5−∫12fxdx.

Ta có:

f2x−xfx2=5x−2x3−1

⇔2f2x−2xfx2=10x−4x3−2

Lấy tích phân 2 vế ta có:

2∫01f2xdx−∫012xfx2dx=∫0110x−4x3−2dx=2

⇔∫01f2xd2x−∫01fx2dx2=2

⇔∫02ftdt−∫01fudu=2

⇔∫02fxdx−∫01fxdx=2

⇔∫12fxdx=2

Vậy I=5−2=3.

Chọn A.