Xét tất cả các số thực x, y sao cho với mọi số thực dương a. Giá trị lớn nhất của biểu thức P = x² + y² + 4x - 3y bằng

Đáp án đúng là: C

Ta có:499−y2≥a4x−log7a2⇔log7499−y2≥log7a4x−log7a2

Û (9 - y²)log₇ 49 ³ (4x - log₇ a²)log₇ a

Û 2(9 - y²) ³ 2(2x - log₇ a).log₇ a (1)

Đặt t = log₇ a, khi a > 0 thì t Î ℝ, (1) trở thành t² - 2x.t + 9 - y² ³ 0 (2)

(1) đúng với mọi a > 0 Û (2) đúng với mọi t Î ℝ

Û D¢ = x² - 9 + y² £ 0 Û x² + y² £ 9

+) Xét (4x - 3y)² £ (16 + 9)(x² + y²)

Þ (4x - 3y)² £ 225 Þ 4x - 3y £ 15

+) Suy ra P = x² + y² + 4x - 3y £ 9 + 15 = 24 đẳng thức xảy ra khi

x4=y−3     x2+y2=9⇔x=125; y=−95x=−125; y=95

Vậy GTLN của P bằng 24.