Cho hàm số bậc bốn y = f(x). Biết rằng hàm số g(x) = ln f(x) có bảng biến thiên Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f '(x) và y = g'(x) thuộc khoảng nào dưới đây?

Đáp án đúng là: A

Từ bảng biến thiên hàm số g(x) = ln f(x) ta có ln f(x) ≥ ln 3, ∀x Î ℝ  f(x) ≥ 3, ∀x Î ℝ.

Ta có g'(x) =f'(x)f(x)

Từ bảng biến thiên ta có đồ thị hàm số y = g(x) có 3 điểm cực trị là A(x₁; ln30), B(x₂; ln 35), C(x₃; ln 3) nên f '(x₁) = f '(x₂) = f '(x₃) = 0 và f(x₁) = 30, f(x₂) = 35, f(x₃) = 3.

Do y = f '(x) là hàm số bậc 3 nên phương trình f '(x) = 0 chỉ có tối đa 3 nghiệm x₁, x₂, x₃

Xét phương trình hoành độ giao điểm của f '(x) và g '(x) ta có

f '(x) = g '(x) ⇔ f '(x) =f'(x)f(x)

.⇔f'(x)=0f(x)=1(VN)⇔x=x1x=x2x=x3

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f '(x) và y = g'(x) là:

S =∫x1x3g'(x)−f'(x)dx=∫x1x3f'(x)f(x)−f'(x)dx=∫x1x3f'(x).1f(x)−1dx

=∫x1x2f'(x).1f(x)−1dx+∫x2x3f'(x).1f(x)−1dx

+ Tính I₁ =∫x1x2f'(x).1f(x)−1dx =∫x1x2f'(x).1−1f(x)dx (do f '(x) ≥ 0, ∀x Î(x₁, x₂))

Đặt t = f(x) ⇒ dt = f '(x) dx

Đổi cận:

x = x₁ Þ t = f(x­₁) = 30

x = x₂ Þ t = f(x₂) = 35

Suy ra I₁ = = 35 − ln 35 − 30 + ln30 = 5 + ln .

+ Tính I₂ = = (do f '(x) ≥ 0, ∀x Î(x₂, x₃)).

Đặt t = f(x) dt = f '(x)dx .

Đổi cận

x = x₂ Þ t = f(x₂) = 35

x = x₃ Þ t = f(x₃) = 3

Suy ra I₂ =∫30351−1tdt=t−lnt3035

= −(3 − ln 3 − 35 + ln 35) = 32 − ln67 .

Vậy S = 5 + ln +  = 37 +ln ≈ 34,39 Î (33; 35).