Có bao nhiêu số phức z thoả z2=2z−z¯ và z+4z¯+4i=z−4i2.

Đáp án đúng là: A

Gọi z = a + bi, a, b Î ℝ

Þ z¯ = a – bi

Þ z – z¯ = 2bi

Þ |z –z¯ | = 2b2=2b

Ta có:

• z2=2z−z¯ Û a² + b² = 4|b| (1).

• z+4z¯+4i=z−4i2 

Û z+4z¯+4i=z−4i2

Û |a + bi + 4|.|a – bi + 4i| = |a + bi – 4i|²

Û a+42+b2.a2+b−42=a2+b−42

Û a2+b−42.a+42+b2−a2+b−42=0

+ TH₁: a2+b−42=0 

Û a² + (b – 4)² = 0

Mà a² ≥ 0 và (b – 4)² ≥ 0 với mọi a, b Î ℝ

Do đó a² + (b – 4)² = 0

Û a=0b−4=0

Û a=0b=4 thoả (1).

Vậy z = 4i.

+ TH₂: a+42+b2−a2+b−42=0 

⇔a+42+b2=a2+b−42

Û (a + 4)² + b² = a² + (b – 4)²

Û 8a = –8b

Û a = −b.

Thay vào ta được (1):

2b² – 4|b| = 0 Û 2|b|.(|b| – 2) = 0

Û |b| = 0 hoặc |b| = 2.

• Với |b| = 0 Û b = 0

Þ b=0a=0 Þ z = 0.

• Với |b| = 2 Û b = ±2

Þ b=2a=−2 hoặc b=−2a=2 

Þ z = −2 + 2i hoặc z = 2 – 2i.

Kết luận: có 4 số phức z.