Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Diện tích S của mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương đó là:

Đáp án đúng là C

Vì ABCD là hình vuông nên AC = BD

Vì tam giác ABD vuông tại A nên \(B{\rm{D}} = \sqrt {A{B^2} + A{{\rm{D}}^2}} \)

Suy ra \(AC = \sqrt {A{B^2} + A{{\rm{D}}^2}} \)

Vì tam giác AA’C’ vuông tại A’ nên \(AC' = \sqrt {AA{'^2} + A'C{'^2}} \)

Mà A’C’ = AC nên \(AC' = \sqrt {AA{'^2} + A{C^2}} \)

Hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có bán kính mặt cầu ngoại tiếp

\(R = \frac{1}{2}AC' = \frac{1}{2}\sqrt {A{C^2} + A'{A^2}} = \frac{1}{2}\sqrt {A{B^2} + A{D^2} + AA{'^2}} = \frac{1}{2}a\sqrt 3 \)

Diện tích mặt cầu đó là: \(S = 4\pi {R^2} = 4\pi .{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)^2} = 3\pi {a^2}\)

Vậy ta chọn đáp án C.