Có bao nhiêu số nguyên m để bất phương trình x² + (m³ – 4m)x ≥ mln(x² + 1) nghiệm đúng với mọi số thực x?

Đáp án đúng là: D

ТХÐ: D = ℝ

Ta có:

\(\begin{array}{l}{x^2} + \left( {{m^3} - 4m} \right)x \ge m\ln \left( {{x^2} + 1} \right);\forall x\\ \Leftrightarrow {x^2} + \left( {{m^3} - 4m} \right)x - m\ln \left( {{x^2} + 1} \right) \ge 0;\forall x{\rm{              }}(*)\end{array}\)

Đặt \(f(x) = {x^2} + \left( {{m^3} - 4m} \right)x - m\ln \left( {{x^2} + 1} \right)\)

Ta có f(0) = 0, do đó \((*) \Leftrightarrow f(x) \ge f(0)\forall x \in \mathbb{R}\)

Lại có hàm số f(x) xác định trên R, nên x = 0 là điểm cực trị của hàm số

Do đó f’(0) = 0

Ta có: \(f'(x) = 2x + {m^3} - 4m - m \cdot \frac{{{x^2} + 1}}\)

\( \Rightarrow f'(0) = 0 \Leftrightarrow {m^3} - 4m = 0 \Leftrightarrow m\left( {{m^2} - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 0}\\\begin{array}{l}m = 2\\m = - 2\end{array}\end{array}} \right.\)

+ Với m = 0 ta có \({x^2} \ge 0;\forall x\) (thỏa mãn)

+ Với m = 2 ta có \({x^2} \ge 2\ln \left( {{x^2} + 1} \right);\forall x\) (loại)

+ Với m = –2 ta có \({x^2} \ge - 2\ln \left( {{x^2} + 1} \right);\forall x\) (thỏa mãn)

Suy ra chỉ có 2 giá trị của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán

Vậy ta chọn đáp án D.