Một sợi dây kim loại dài a(cm) . Người ta cắt sợi dây đó thành hai đoạn, trong đó một đoạn có độ dài x(cm) được uốn thành đường tròn và đoạn còn lại được uốn thành hình vuông a>x>0. Tìm x để hình vuông và hình tròn tương ứng có tổng diện tích nhỏ nhất.

Do x là độ dài của đoạn dây cuộn thành hình tròn 0

Gọi r là bán kính của đường tròn. Chu vi đường tròn: 2πr=x⇒r=x2πDo đó diện tích hình tròn là: S1=π.r2=x24π

Chu vi hình vuông là a−x⇒Cạnh hình vuông là a−x4Do đó diện tích hình vuông:

S2=a−x42

Tổng diện tích hai hình:

S=x24π+a−x42    =4x2+πa−x216π     =4+π.x2−2aπx+πa216π

Xét hàm số  Sx=4+π.x2−2aπx+πa216πta có:

S'x=24+π.x−2aπ16π=4+π.x−aπ8π

Cho S'x=0⇔4+πx−aπ=0⇔x=aπ4+πTa có BBT như sau :

Suy ra hàm S chỉ có một cực trị và là cực tiểu tại x=aπ4+π

Do đó S đạt giá trị nhỏ nhất tại x=aπ4+πĐáp án cần chọn là: C