Xét hai câu sau: (1) Hàm số \[y = \frac{{\left| x \right|}}\] liên tục tại \[x = 0\] (2) Hàm số \[y = \frac{{\left| x \right|}}\] có đạo hàm tại \[x = 0\] Trong hai câu trên:

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Ta có : \[\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left| x \right|}} = 0\\f\left( 0 \right) = 0\end{array} \right. \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left| x \right|}} = f\left( 0 \right)\]. Vậy hàm số \[y = \frac{{\left| x \right|}}\] liên tục tại \[x = 0\]

Ta có : \[\frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}} = \frac{{\frac{{\left| x \right|}} - 0}}{x} = \frac{{\left| x \right|}}{{x\left( {x + 1} \right)}}\](với \[x \ne 0\])

Do đó : \[\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\left| x \right|}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1} = 1\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\left| x \right|}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{ - 1}} = - 1\end{array} \right.\]

Vì giới hạn hai bên khác nhau nên không tồn tại giới hạn của \[\frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}\] khi \[x \to 0\].

Vậy hàm số \[y = \frac{{\left| x \right|}}\] không có đạo hàm tại \[x = 0\]