Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác cân tại A có AB = AC= 2a , ÐCAB=120⁰. Mặt phẳng (AB¢C¢) tạo với đáy một góc 60⁰. Thể tích khối lăng trụ là:

Phương pháp giải:

- Xác định góc giữa hai mặt phẳng (AB′C′) và (A′B′C′): góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng  nằm trong hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.

- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính độ dài đường cao h=AA′.

- Tính diện tích đáy SA′B′C′, sử dụng công thức S=12absinC.

- Tính thể tích khối lăng trụ V=Sh.

Giải chi tiết:

Gọi D là trung điểm của B'C'. Vì tam giác A'B'C' cân tại A' nên A'D⊥B'C' (trung tuyến đồng thời là đường cao).

Ta có: A'D⊥B'C'AA'⊥B'C'⇒B'C'⊥AA'D⇒B'C'⊥AD

AB'C'∩A'B'C'=B'C'ABC'⊃AD⊥B'C'A'B'C'⊃A'D⊥B'C'⇒∠AB'C';A'B'C'=∠AD;A'D=∠ADA'=60° 

Vì tam giác A'B'C' cân tại A' nên ∠DA'C'=12∠B'A'C'=60° (trung tuyến đồng thời là phân giác).

Xét tam giác vuông A'C'D' có: A'D=A'C'.cos60°=2a.12=a.

Xét tam giác vuông AA'D' có: AA'=A'D.tan60°=a.3.

Ta có: SABC=12AB.AC.sin∠BAC=12.2a.2a.32=a23.

Vậy VABC.A'B'C'=AA'.SABC=a3.a23=3a3.

Chọn D.