Cho khối lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B với AB=a,AA'=2a,A'C=3a. Gọi M là trung điểm của A'C', I là giao điểm của đường thẳng AM và A'C. Tính theo a thể tích khối IABC.

Phương pháp giải:

+) So sánh thể tích của khối tứ diện IABCIABC với thể tích của khối lăng trụ.

+) Tính thể tích khối lăng trụ.

Giải chi tiết:

Ta có: A'M‖AC⇒A'MAC=A'IIC=12⇒ICA'C=23.

Vì IA'∩(ABC)=C⇒d(I;(ABC))dA';(ABC)=ICA'C=23.

⇒VI.ABCVABC.A'B'C'=13 d(I;(ABC)).SABCdA';(ABC).SABC=13⋅23=29⇒VI.ABC=29 VABC.A'B'C'

Ta có: AA'⊥(ABC)⇒AA'⊥AC⇒ΔAA'C vuông tại A.

⇒AC=A'C2−AA'2=9a2−4a2=a5.

Xét tam giác vuông ABC có: BC=AC2−AB2=5a2−a2=2a.

⇒SABC=12AB.BC=12a.2a=a2.

⇒VABC⋅A'B'C'=AAA'⋅SABC=2a⋅a2=2a3.

Vậy VI.ABC=29 VABC.A'B'C'=29.2a3=4a39.

Chọn C.