Cho a, b, c, d là các số nguyên dương thỏa mãn \[{\log _a}b = \frac{3}{2};{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\log _c}d = \frac{5}{4}\]. Nếu \[a - c = 9\] thì \[b - d\] nhận giá trị nào ?

Phương pháp giải:

\[{\log _a}b = x \Leftrightarrow {a^x} = b\]

Giải chi tiết:

\[{\log _a}b = \frac{3}{2} \Rightarrow b = {a^{\frac{3}{2}}};{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\log _c}d = \frac{5}{4} \Rightarrow d = {c^{\frac{5}{4}}}\]

Do b,d là các số nguyên ⇒ Đặt \[a = {x^2};{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} c = {y^4}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {x,y \in {Z^ + }} \right)\]

\[ \Rightarrow a - c = \left( {x - {y^2}} \right)\left( {x + {y^2}} \right) = 9 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - {y^2} = 1}\\{x + {y^2} = 9}\end{array}} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 5}\\{{y^2} = 4}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 5}\\{y = 2}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{b = {5^3} = 125}\\{d = {2^5} = 32}\end{array}} \right. \Rightarrow b - d = 93\]