Có bao nhiêu cặp số nguyên dương x;y với y≤2021thỏa mãn logx+12y+1≤4y4+4y3−x2y2−2y2x.

Chọn  C

Ta có: logx+12y+1≤4y4+4y3−x2y2−2y2x⇔logxy+y2y2+y≤4y4+4y3+y2−x2y2+2y2x+y2      ⇔logxy+y−log2y2+y≤2y2+y2−xy+y21

Xét hàm số ft=logt+t2  với t∈0;+∞.

Ta có: f't=1tln10+2t>0;∀t∈0;+∞. Suy ra hàm ft đồng biến trên t∈0;+∞.

Khi đó: 1⇔fxy+y≤f2y2+y⇔xy+y≤2y2+y⇔x≤2y.

Vì y∈ℤ+ và y≤2021nên ta xét các trường hợp sau.

   y=1⇒x∈1;2.

   y=2⇒x∈1;2;3;4 .

   ……………………………….

   y=2021⇒x∈1;2;3;.....;4042.

Vậy số cặp nghiệm thỏa mãn điều kiện bài toán là: 2+4+6+...+4042=2022.2021