Cho hai số thực dương \[a,{\rm{ }}b\] thỏa mãn \[{\log _4}a = {\log _6}b = {\log _9}\left( {a + b} \right)\]. Tính \[\frac{a}{b}\].

Đáp án B

Đặt \({\log _4}a = {\log _6}b = {\log _9}\left( {a + b} \right) = t \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = {4^t}\\b = {6^t}\\a + b = {9^t}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow {4^t} + {6^t} = {9^t} \Rightarrow {\left( {\frac{4}{9}} \right)^t} + {\left( {\frac{6}{9}} \right)^t} = 1 \Rightarrow {\left[ {{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^t}} \right]^2} + {\left( {\frac{2}{3}} \right)^t} - 1 = 0 \Rightarrow {\left( {\frac{2}{3}} \right)^t} = \frac{{\sqrt 5 - 1}}{2}.\)

Ta có \(\frac{a}{b} = {\left( {\frac{4}{6}} \right)^t} = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^t} = \frac{{\sqrt 5 - 1}}{2}.\)