Cho hình lăng trụ tam giác đều \[ABC.A'B'C'.\] Góc giữa hai mặt phẳng \[\left( {A'BC} \right)\] và \[\left( {ABC} \right)\]bằng \[30^\circ .\] Tam giác \[A'BC\] có diện tích bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ \[ABC.A'B'C'.\]

Đáp án A

Kẻ \(AH \bot BC \Rightarrow \widehat {\left( {(A'BC);(ABC)} \right)} = \widehat {A'HA} = 30^\circ \)

\( \Rightarrow \cos 30^\circ = \frac{{A'H}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow A'H = \frac{2}{{\sqrt 3 }}AH = \frac{2}{{\sqrt 3 }}.\frac{{AB\sqrt 3 }}{2} = AB\).

\({S_{A'BC}} = \frac{1}{2}BC.A'H = \frac{1}{2}AB.AB = 8 \Rightarrow AB = 4\).

\(\tan 30^\circ = \frac{{A'A}} = \frac{{A'A}}{{\frac{{AB\sqrt 3 }}{2}}} \Rightarrow A'A = 2\)

\( \Rightarrow V = A'A.{S_{ABC}} = A'A.\frac{{A{B^2}\sqrt 3 }}{4} = 8\sqrt 3 \).