Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có đạo hàm tại \[x = 1\] và \[f'\left( 1 \right) \ne 0.\] Gọi \[{d_1}\], \[{d_2}\] lần lượt là hai tiếp tuyến của đồ thị hàm số \[y = f\left( x \right)\] và \[y = g\left( x \right) = x.f\left( {2x - 1} \right)\] tại điểm có hoành độ \[x = 1.\] Biết rằng hai đường thẳng \[{d_1}\], \[{d_2}\] vuông góc với nhau. Khẳng định nào sau đây đúng?

Đáp án C

Ta có \[g'\left( x \right) = f\left( {2x - 1} \right) + 2x.f'\left( {2x - 1} \right) \Rightarrow g'\left( x \right) = f\left( 1 \right) + 2f'\left( 1 \right)\].

\[{d_1}\] có hệ số góc là \[f'\left( 1 \right)\] và \[{d_2}\] có hệ số góc là \[g'\left( 1 \right) = f\left( 1 \right) + 2f'\left( 1 \right)\].

Mà \[{d_1} \bot {d_2} \Rightarrow f'\left( 1 \right).g'\left( 1 \right) = - 1 \Leftrightarrow f'\left( 1 \right).\left[ {f\left( 1 \right) + 2f'\left( 1 \right)} \right] = - 1\].

\[\begin{array}{l} \Rightarrow f\left( 1 \right) = \frac{{ - 2{{\left[ {f'\left( 1 \right)} \right]}^2} - 1}}{{f'\left( 1 \right)}}\\ \Rightarrow \left| {f\left( 1 \right)} \right| = \left| {\frac{{2{{\left[ {f'\left( 1 \right)} \right]}^2} + 1}}{{f'\left( 1 \right)}}} \right| = \frac{{2{{\left[ {f'\left( 1 \right)} \right]}^2} + 1}}{{\left| {f'\left( 1 \right)} \right|}} \ge \frac{{2\sqrt {2{{\left[ {f'\left( 1 \right)} \right]}^2}.1} }}{{\left| {f'\left( 1 \right)} \right|}} = 2\sqrt 2 .\end{array}\]