Có bao nhiêu số số phức z thỏa mãn \[\left| {z + 1} \right| = 2\sqrt 5 \] và \[{\left( {z - 1} \right)^2}\] là số thuần ảo?

Đáp án D

Giả sử \[z = a + bi\;\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\], ta có \[\left| {z + 1} \right| = 2\sqrt 5 \]

\[ \Leftrightarrow \left| {a + bi + 1} \right| = 2\sqrt 5 \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {a + 1} \right)}^2} + {b^2}} = 2\sqrt 5 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + 2a = 19.\]

Lại có \[{\left( {z - 1} \right)^2} = {\left( {a - 1 + bi} \right)^2} = {\left( {a - 1} \right)^2} - {b^2} + 2b\left( {a - 1} \right)i\] là số thuần ảo.

Nên \[{\left( {a - 1} \right)^2} - {b^2} = 0 \Leftrightarrow {b^2} = {\left( {a - 1} \right)^2} \Rightarrow {a^2} + {\left( {a - 1} \right)^2} + 2a = 19 \Leftrightarrow 2{a^2} = 18 \Leftrightarrow a = \pm 3\].

+ Với \[a = 3 \Rightarrow {b^2} = 4 \Leftrightarrow b = \pm 2 \Rightarrow z = 3 \pm 2i\].

+ Với \[a = - 3 \Rightarrow {b^2} = 16 \Leftrightarrow b = \pm 4 \Rightarrow z = - 3 \pm 4i\].

Do đó sẽ có 4 số phức z thỏa mãn bài toán.