Cho hàm số fx,f−x liên tục trên ℝ và thỏa mãn 2fx+3f−x=14+x2. Tính I=∫−22fxdx

Phương pháp giải:

+) Chứng minh I=−22fxdx=−22f−xdx.

+) Lấy tích phân từ -2 đến 2 hai vế của 2fx+3f−x=14+x2. Tính I.

Giải chi tiết:

Đặt t=−x⇒dx=−dt.

Đổi cận: x=−2⇒t=2x=2⇒t=−2

⇒I=−∫2−2f(−t)dt=∫−22f(−x)dx

Theo bài ra ta có :

2f(x)+3f(−x)=14+x2⇔2∫−22f(x)dx+3∫−22f(−x)dx=∫−22dx4+x2⇔3I+2I=∫−22dx4+x2⇔I=15∫−22dx4+x2.

Đặt x=2tanu ta có :dx=21cos2udu=21+tan2udu

Đổi cận: x=−2⇒u=−π4x=2⇒u=π4.

Khi đó ta có

I=15∫−π4π421+u2du4+4tan2u=110∫−π4π4du=110u−π4π4=110π4+π4=π20.

Chọn A.