Cho hàm số y=f(x) thỏa mãn f(0)=0;(x)=xx2+1 . Họ nguyên hàm của hàm số g(x)=4xf(x) là:

Đáp án C

Ta có: f'(x)=xx2+1⇒f(x)=∫f'(x)dx=∫xdxx2+1=12∫d(x2+1)x2+1=12ln(x2+1)+C

f(0)=0⇔12ln1+C=0⇔C=0⇒f(x)=12ln(x2+1)

⇒g(x)=4xf(x)=2xln(x2+1)⇒∫g(x)dx=∫2xln(x2+1)dxĐặt t=x2+1⇒dt=2xdx

⇒∫g(x)dx=∫lntdt=tlnt−∫t.1tdt=tlnt−∫dt=tlnt−t+C 

=(x2+1)ln(x2+1)−(x2+1)+C

Đặt −1+C=c⇒∫g(x)dx=(x2+1)ln(x2+1)−x2+c .