Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m thuộc khoảng −1000;1000 để hàm số y=2x3−32m+1x2+6mm+1x+1 đồng biến trên khoảng 2;+∞ ?

Ta có y'=6x2−62m+1x+6mm+1=6.x2−2m+1x+mm+1

Xét phương trình y/=0  có Δ=2m+12−4mm+1=1>0, ∀m∈ℝ.

Suy ra phương trình y/=0  luôn có hai nghiệm x1

Theo định lí Viet, ta có x1+x2=2m+1x1x2=mm+1. 

Để hàm số đồng biến trên 2;+∞⇔  phương trình y/=0 có hai nghiệm x1

 ⇔x1−2+x2−2<0x1−2x2−2≥0⇔x1+x2<4x1x2−2x1+x2+4≥0⇔2m+1<4mm+1−22m+1+4≥0⇔m≤1

→m∈ℤm=−999;−998;...;1.

Vậy có 1001 số nguyên m thuộc khoảng −1000;1000.  Chọn B.