Giá trị của \(I = \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\sqrt {1 - {x^2}} dx} \) là

Hướng dẫn giải

Đặt \(x = \sin t \Rightarrow dx = \cos tdt.\)

Đổi cận \[\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = \frac{1}{2} \Rightarrow t = \frac{\pi }{6}\end{array} \right.\]

Khi đó \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {\sqrt {1 - {{\sin }^2}t} .\cos tdt} \)

\( = \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {{{\cos }^2}t.dt} = \frac{1}{2}\int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {\left( {1 + \cos 2t} \right).dt} \)

\( = \frac{1}{2}\left( {t + \frac{1}{2}\sin 2t} \right)\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle0}^{\frac{\pi }{6}}} \right. = \frac{1}{2}\left( {\frac{\pi }{6} + \frac{{\sqrt 3 }}{4}} \right).\)