Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa điều kiện \(f\left( x \right) + f\left( { - x} \right) = 2\cos x,\) với \(\forall x \in \mathbb{R}\). Giá trị của \(N = \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx} \) là

Hướng dẫn giải

Ta có \(N = \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {f\left( { - x} \right)dx} \)

Suy ra \(2N = \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\left[ {f\left( x \right) + f\left( { - x} \right)} \right]dx} = \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {2\cos xdx.} \)

Vậy \(N = 2\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos xdx} = 2\sin x\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle0}^{\frac{\pi }{2}} = 2.} \right.\)

Chọn D.