Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho đồ thị hàm số y=x−1x3+3x2+m+1 có đúng một tiệm cận đứng.

Xét phương trình x3+3x2+m+1=0 *

TH1: x = 1 là nghiệm của *⇒5+m=0⇔m=−5.

Khi đó ta có y=x−1x3+3x2−4=x−1x−1x+22=1x+22, khi đó đồ thị có TCĐ x = -2.

⇒m=−5 thỏa mãn.

TH2: x = 1 không là nghiệm của (*), khi đó để đồ thị đã cho có đúng 1 TCĐ thì (*) có nghiệm duy nhất khác 1.

Ta có *⇔m=−x3−3x2−1=fx.

Xét hàm số fx=−x3−3x2−1 ta có f'x=−3x2−6x=0⇔x=0x=−2.

BBT:

Dựa vào BBT ta thấy m = f(x) có nghiệm duy nhất khác 1 khi m>−1m<−5.

Kết hợp 2 TH ta có m≤5m>−1.

Chọn D.