Biết rằng đồ thị hàm sốy=x3−3mx+2 có hai điểm cực trị A, B. Gọi M, N là hai giao điểm của đường thẳng (AB) và đường tròn C:x−12+y−12=3. Biết MN lớn nhất. Khoảng cách từ điểm E3;1 đến bằng AB

Hướng dẫn giải

Ta có: y'=3x2−3m.

Hàm số có hai điểm cực trị ⇔y'=0  có hai nghiệm phân biệt ⇔m>0.

Viết hàm số dưới dạng y=x33x2−3m−2mx+2=x3y'−2mx+2

Suy ra đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho là AB:y=−2mx+2.

Đường thẳng  AB luôn đi qua điểm cố định là M0;2.

Đường tròn C tâmI1;1 , bán kính R=3  và dI;AB≤IM=1<3=R nên đường thẳng luôn cắt đường tròn tại hai điểm M, N.

Giả sử I1;1∈AB⇒1=−2m+2⇔m=12.

Vậy khi  m=12 (thỏa mãn hàm số có hai điểm cực trị) thì (AB) quaI1;1 , cắt đường tròn  tại hai điểm M, N với MN=2R  là lớn nhất. Khi đó: dE3;1;AB:y+x−2=0=2.

Chọn B.