Cho hàm số y=fx là hàm đa thức bậc 6 thỏa mãn 3f1−2<0 và 3fa−a3+3a>0,∀a>2 . Đồ thị hàm số y=f'x như hình vẽ. Số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số gx=x+13fx+2−x3+3x là

Hướng dẫn giải

Đặt hx=3fx+2−x3+3x  . Điều kiện hx≠0 .

Ta có h'x=3f'x+2−3x2+3  , h'x=0⇔f'x+2=x2−1 .

Đặt t=x+2 , ta được f't=t2−4t+3 . (*)

Vẽ đồ thị hàm số y=t2−4t+3  vào cùng hệ trục có đồ thị hàm số y=f't  ta được hình vẽ sau

Dựa vào đồ thị ta thấy (*) có ba nghiệm là t=1;  t=3;  t=a>4 .

Suy ra phương trình h'x=0  có nghiệm đơn x=−1;  x=1;  x=a−2=b>2 .

Ta có bảng biến thiên của hx  như sau

Vì  h−1=3f1−2<0 và hb=3fa−a−23+3a−2=3fa−a3+3a+6a2−12a+2>0  với mọi a>4  nên phương trình hx=0  có hai nghiệm phân biệt x=x1<−1; x=x2∈−1;1 .

Vậy đồ thị hàm số y=gx  có hai tiệm cận đứng.

Chọn B.