Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4\). Hỏi phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số \(k = \frac{1}{2}\) và phép quay tâm O góc quay \(180^\circ \) sẽ biến đường tròn (C) thành đường tròn nào trong các đường tròn có phương trình sau:

Đáp án A

Phương pháp:

Phép vị tự tâm O tỉ số k biến \(M\left( {x;\,y} \right) \mapsto M'\left( {x';\,\,y'} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' = k{\rm{x}}\\y' = ky\end{array} \right.\).

Phép quay tâm O góc quay \(180^\circ \) biến \(M\left( {x;\,y} \right) \mapsto M'\left( {x';\,\,y'} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' = - {\rm{x}}\\y' = - y\end{array} \right.\).

Cách giải:

Lấy \(M\left( {x;\,y} \right) \in \left( C \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4\)

Phép vị tự tâm O tỉ số \(k = \frac{1}{2}\) biến \(M\left( {x;\,y} \right) \mapsto M'\left( {x';\,\,y'} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' = \frac{1}{2}{\rm{x}}\\y' = \frac{1}{2}y\end{array} \right.\).

Phép quay tâm O góc quay \(180^\circ \) biến \(M'\left( {x';\,y'} \right) \mapsto M''\left( {x'';\,\,y''} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x'' = - x'\\y'' = - y'\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x'' = - \frac{1}{2}{\rm{x}}\\y'' = - \frac{1}{2}y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 2{\rm{x''}}\\y = - 2y''\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow {\left( {2{\rm{x''}} - 2} \right)^2} + {\left( {2y'' - 2} \right)^2} = 4 \Leftrightarrow {\left( {x'' - 1} \right)^2} + {\left( {y'' - 1} \right)^2} = 1\)

Vậy phương trình của đường tròn cần tìm là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 1\).