Cho hàm số x2−2x+3 có đồ thị (C) và điểm A1;a . Có bao nhiêu giá trị nguyên của a để có đúng hai tiếp tuyến của (C) đi qua A ?

Hướng dẫn giải

Ta có hàm số y=x2−2x+3  xác định trên R, y'=x−1x2−2x+3 .

Gọi k là hệ số góc của đường thẳng ∆  đi qua A1;a .

Phương trình đường thẳng Δ:y=kx−1+a .

Đường thẳng ∆   tiếp xúc với đồ thị (C) khi hệ phương trình sau có nghiệm

Thay (2) vào (1) ta được x2−2x+3=x−1x2−2x+3x−1+a

⇔x2−2x+3=x−12+ax2−2x+3⇔ax2−2x+3=2.

⇔a=2x2−2x+33

Qua A có đúng hai tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt.

Xét hàm số fx=2x2−2x+3 .

Ta có f'x=−2x−1x2−2x−3x2−2x+3;f'x=0⇔x=1 .

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có (3) có hai nghiệm phân biệt thì a∈0;2.  Mà a nguyên nên a=1 .

Chọn C.