Cho hàm số y=x+12x−1 có đồ thị (H). Gọi Ax1;y1, Bx2;y2 là hai điểm phân biệt thuộc (H) sao cho tiếp tuyến của (H) tại A, B song song với nhau. Độ dài nhỏ nhất của đoạn thẳng AB bằng

Hướng dẫn giải

Ta có y'=−32x−12  . Do tiếp tuyến của (H) tại A, B song song với nhau nên

y'x1=y'x2⇔−32x1−12=−32x2−12⇔x1=x2x1+x2=1

Vì x1≠x2  nên x1+x2=1 .

Khi đó do vai trò của A, B như nhau nên ta có thể giả sử x1=12a+12, a>0  thì A12a+12;a+32a,  B−12a+12;a−32a .

Gọi I12;12  là giao điểm của hai đường tiệm cận.

Ta thấy x1+x2=1=2xIy1+y2=1=2yI  nên I là trung điểm của AB.

Ta có IA→=a2;32a⇒IA=a24+94a2≥2a24.94a2=32

Vì I là trung điểm của AB nên AB=2IA≥232=6 .

Vậy ABmin=6   khi a24=94a2⇒a2=3⇒a=3

Chọn C.