Cho các số thực không âm \(x,y\) thỏa mãn \(x + y = 1\). Giá trị lớn nhất \(M\) và giá trị nhỏ nhất \(m\) của biểu thức \(S = \left( {4{x^2} + 3y} \right)\left( {4{y^2} + 3x} \right) + 25xy\) lần lượt là

Lời giải Chọn C Cách 1. Ta có: \(S = 16{x^2}{y^2} + 12\left( {{x^3} + {y^3}} \right) + 34xy\) \( = \) \(16{x^2}{y^2} + 12{\left( {x + y} \right)^3} - 36xy\left( {x + y} \right) + 34xy\) \( = \) \(16{\left( {xy} \right)^2} - 2xy + 12\). Đặt \(xy = t\), suy ra \(S = f\left( t \right) = 16{t^2} - 2t + 12\). Nhận thấy: \(x,y \ge 0,x + y = 1\)và \({\left( {x + y} \right)^2} \ge 4xy\) với \(\forall x,y\) nên \(0 \le t \le \frac{1}{4}\). Xét hàm số \(f\left( t \right) = 16{t^2} - 2t + 12\) với \(t \in \left[ {0;\frac{1}{4}} \right]\). Có: \(f'\left( x \right) = 32t - 2\) \( \Rightarrow \) \(f'\left( t \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \) \(t = \frac{1}\) \( \in \left[ {0;\frac{1}{4}} \right]\). Ta thấy \(f\left( 0 \right) = 12,f\left( {\frac{1}} \right) = \frac,f\left( {\frac{1}{4}} \right) = \frac{2}\). Suy ra giá trị lớn nhất của \(f\left( t \right)\) bằng \(\frac{2}\) và giá trị nhỏ nhất của \(f\left( t \right)\) bằng \(\frac\). Vậy \(M = \frac{2},m = \frac\). Cách 2. Giả sử \(x \ge y\), do \(x,y \ge 0\) và \(x + y = 1\) nên \(\frac{1}{2} \le x \le 1\). Có \(S = \left[ {4{x^2} + 3\left( {1 - x} \right)} \right]\left[ {4{{\left( {1 - x} \right)}^2} + 3x} \right] + 25x\left( {1 - x} \right)\)\( = \) \(\left( {4{x^2} - 3x + 3} \right)\left( {4{x^2} - 5x + 4} \right) + 25x\left( {1 - x} \right)\) \( = \)\(16{x^4} - 32{x^3} + 18{x^2} - 2x + 12\). Đặt \(f\left( x \right) = 16{x^4} - 32{x^3} + 18{x^2} - 2x + 12\), \(x \in \left[ {\frac{1}{2};1} \right]\). Từ đây ta cũng tìm được \(M = \frac{2},m = \frac\).