Tìm tất cả các giá trị m để hàm số y=8cotx+(m−3)2cotx+3m−2 nghịch biến trên π4;π

Chọn D

Đặt: t=cotx  (t∈R).

Với x∈π4;π thì t∈0;2.

Ta được:y=t3+(m−3)t+3m−2⇒y'=3t2+m−3.

Để hàm số y=8cotx+(m−3)2cotx+3m−2 nghịch biến trên π4;πthì hàm số y=f(t)=t3+(m−3)t+3m−2 nghịch biến trên

0;2⇔f'(t)=3t2+m−3≤0, ∀x∈0;2⇔m≤−3t2+3=g(t)⇔m≤min0;2g(t).

Ta có: g'(t)=−6t=0⇔t=0.

              Bảng biến thiên:

              Giá trị nhỏ nhất của g(t)là: −9.

              Vậy: m≤−9.