Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục và tăng trên \(\left[ {1;2} \right],f\left( 1 \right) = - 1,f\left( 2 \right) = 3\). Có bao nhiêu số nguyên dương \(m\)để phương trình \(f\left( {\sqrt {4 - {x^2}} } \right) = m\) có nghiệm \[x \in \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 3 } \right)\] ?

Lời giải Đặt \(t = \sqrt {4 - {x^2}} \),\[x \in \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 3 } \right)\]. \(t' = \frac{{ - x}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}\). \(t' = 0 \Leftrightarrow x = 0\). Để phương trình \(f\left( {\sqrt {4 - {x^2}} } \right) = m\) có nghiệm \( \Rightarrow - 1 < m \le 3\).\( \Rightarrow m \in \left\{ {1;2;3} \right\}\). Vậy có \(3\) giá trị nguyên dương của \(m\) thỏa yêu cầu đề bài.