Cho hình thang cân \(ABCD\) có đáy nhỏ \(AB\) và hai cạnh bên đều có độ dài bằng 1. Tìm diện tích lớn nhất \({S_{{\rm{max}}}}\) của hình thang.

Lời giải

Chọn D

Gọi \(H,K\) lần lượt là hình chiếu của \(A,B\) trên cạnh \(CD\).

Đặt \(\widehat {ADC} = \alpha \Rightarrow DH = \sin \alpha ,DH = c{\rm{os}}\alpha \)

               \({S_{ABCD}} = \frac{1}{2}AH.\left( {AB + CD} \right) = \frac{1}{2}\sin \alpha \left( {2 + 2\cos \alpha } \right) = f\left( \alpha \right)\)

\(x\)\(f'\left( \alpha \right) = {\rm{cos}}\alpha + 2{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha - 1 = 0 \Leftrightarrow \alpha = \frac{\pi }{3}\)

Vậy \({S_{{\rm{max}}}} = \frac{{3\sqrt 3 }}{4}\).