Cho hàm số y=f(x) thỏa mãn [f'(x)]2+f(x).f''(x)=x3−2x  ∀x∈ℝ và f(0)=f'(0)=2. Tính giá trị của T=f2(2)

Đáp án A

Ta có: VT=[f(x).f'(x)]'=f'(x).f'(x)+f(x).f''(x)=[f'(x)]2+f(x).f''(x)

⇒[f'(x).f(x)]'=x3−2x    (*)

Nguyên hàm hai vế của (*) ta được: f'(x).f(x)=x44−x2+C  (1)

Lại có: f'(0)=f(0)=2⇒C=2.2=4⇒(1)⇔f(x).f'(x)=x44−x2+4

⇒∫f(x)f'(x)dx=∫(x44−x2+4)dx⇔∫f(x)df(x)=x520−x33+4x+A⇔f2(x)2=x520−x33+4x+A⇔f2(x)=x510−2x33+8x+2A

Có f(0)=2⇒4=2A⇔A=2⇒f2(x)=x510−2x33+8x+4

⇒f2(x)=2510−2.233+8.2+4=26815