Cho các số dương a;b;c thay đổi thỏa mãn log2a+log2c≥2log2b. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=a+b+c+13b3−2b2+2 bằng

Chọn đáp án D

Từ giả thiết log2a+log2c≥2log2b⇔log2(ac)≥log2b2⇔ac≥b2.

Ta có: P=a+c+b+13b3−2b2+2≥2ac+b+13b3−2b2+2.

≥2b+b+13b3−2b2+2=13b3−2b2+3b+2.

Xét hàm số: f(b)=13b3−2b2+3b+2 với b > 0.

Có f'(b)=b2−4b+3=0⇔b=1b=3.

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên, ta được: minf(b)b>0             =f(3)=2.

⇒P≥2.

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 2 đạt được khi b = 3 và a=c=3.