Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số \(y = {\left( {\frac{2}{\pi }} \right)^{{x^3} + 3m{x^2} + 3mx + 10}}\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\)

Đáp án C

Phương pháp:

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right) \Rightarrow f'\left( x \right) \ge 0\,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\)

Cách giải:

\(y = {\left( {\frac{2}{\pi }} \right)^{{x^3} + 3m{x^2} + 3mx + 10}}\)

\( \Rightarrow y' = \left( {3{x^2} + 6mx + 3m} \right).\ln \frac{2}{\pi }.{\left( {\frac{2}{\pi }} \right)^{{x^3} + 3m{x^2} + 3mx + 10}}\)

\( = 3\ln \frac{2}{\pi }.\left( {{x^2} + 2mx + m} \right).{\left( {\frac{2}{\pi }} \right)^{{x^3} + 3m{x^2} + 3mx + 10}}\)

Hàm số \(y = {\left( {\frac{2}{\pi }} \right)^{{x^3} + 3m{x^2} + 3mx + 10}}\)nghịch biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right) \Leftrightarrow y' \le 0,\,\,x \in \left( {0; + \infty } \right)\)

Mà \(\ln \frac{2}{\pi } < 0,\,\,\,{\left( {\frac{2}{\pi }} \right)^{{x^3} + 3m{x^2} + 3mx + 10}} > 0,\,\,\,\forall x \Rightarrow {x^2} + 2mx + m \ge 0,\,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\Delta ' \le 0\\\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\{x_1} < {x_2} \le 0\end{array} \right.\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' \le 0\\\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\S < 0\\P > 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - m \le 0\\\left\{ \begin{array}{l}{m^2} - m > 0\\ - 2m < 0\\m \ge 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0 \le m \le 1\\\left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m >

1\\m < 0\end{array} \right.\\m > 0\\m \ge 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0 \le m \le 1\\\left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 1\\m < 0\end{array} \right.\\m > 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0 \le m \le 1\\m > 1\end{array} \right. \Leftrightarrow m \ge 0\)

Kết luận: \(m \in \left[ {0; + \infty } \right)\)