Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\), tam giác ABC vuông tại B. Biết \(SA = 2a,\,\,AB = a,\,\,BC = a\sqrt 3 \). Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.

Đáp án C

Phương pháp:

+) Xác định trục của mặt đáy (đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp đáy và vuông góc với đáy).

+) Xác định đường trung trực của cạnh bên SA.

+) Xác định giao điểm của 2 đường thẳng trên, đó chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp.

+) Áp dụng định lí Pytago để tính bán kính mặt cầu.

Cách giải:

Gọi E, F, I lần lượt là trung điểm của AC, AB và SC ta có;

E là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (\(\Delta ABC\) vuông tại B)

 \(IE//SA \Rightarrow IE \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow IA = IB = IC\,\,\,\left( 1 \right)\)

\[{\rm{IF}}//AC \Rightarrow IF \bot SA \Rightarrow IS = IA\,\,\,\left( 2 \right)\]

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \) I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC và \(R = \frac{2}\)

Xét tam giác vuông ABC có: \(AC = \sqrt {{a^2} + 3{a^2}} = 2a\)

Xét tam giác vuông SAC có: \(SC = \sqrt {4{a^2} + 4{a^2}} = 2\sqrt 2 a\)

Vậy \(R = \frac{{2\sqrt 2 a}}{2} = a\sqrt 2 \)