Cho hình chóp \(S.ABC\), \(M\)và \(N\) là các điểm thuộc các cạnh \(SA\) và \(SB\) sao cho \(MA = 2SM\), \(SN = 2NB\), \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng qua \(MN\) và song song với \(SC\). Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) chia khối chóp \(S.ABC\) thành hai khối đa diện \(\left( \right)\) và \(\left( \right)\) với \(\left( \right)\) là khối đa diện chứa điểm \(S\), \(\left( \right)\) là khối đa diện chứa điểm \(A\). Gọi \({V_1}\) và \({V_2}\) lần lượt là ...

Lời giải

Chọn A

Kí hiệu \(V\) là thể tích khối tứ diện \(SABC\).

Gọi \(P\), \(Q\) lần lượt là giao điểm của \(\left( \alpha \right)\) với các đường thẳng \(BC\), \(AC\).

Ta có \(NP\;{\rm{//}}\;MQ\;{\rm{//}}\;SC\).

Khi chia khối \(\left( \right)\) bởi mặt phẳng \(\left( {QNC} \right)\), ta được hai khối chóp \(N.SMQC\) và \(N.QPC\).

Ta có \(\frac{{{V_{N.SMQC}}}}{{{V_{B.ASC}}}} = \frac{{d\left( {N,\left( {SAC} \right)} \right)}}{{d\left( {B,\left( {SAC} \right)} \right)}} \cdot \frac{{{S_{SMQC}}}}{{{S_{SAC}}}}\).

\(\frac{{d\left( {N,\left( {SAC} \right)} \right)}}{{d\left( {B,\left( {SAC} \right)} \right)}} = \frac = \frac{2}{3}\); \(\frac{{{S_{AMQ}}}}{{{S_{ASC}}}} = \frac.\frac = {\left( {\frac} \right)^2} = \frac{4}{9} \Rightarrow \frac{{{S_{SMQC}}}}{{{S_{ASC}}}} = \frac{5}{9}\).

Do đó \(\frac{{{V_{N.SMQC}}}}{{{V_{B.ASC}}}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{9} = \frac\).

\(\frac{{{V_{N.QPC}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{d\left( {N,\left( {QPC} \right)} \right)}}{{d\left( {S,\left( {ABC} \right)} \right)}} \cdot \frac{{{S_{QPC}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac \cdot \left( {\frac \cdot \frac} \right) = \frac{1}{3} \cdot \left( {\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3}} \right) = \frac{2}\).

Do đó \(\frac{}{V} = \frac{{{V_{N.SMQC}}}}{{{V_{B.ASC}}}} + \frac{{{V_{N.QPC}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac + \frac{2} = \frac{4}{9} \Rightarrow \frac{}{{{V_1} + {V_2}}} = \frac{4}{9} \Rightarrow 5{V_1} = 4{V_2} \Rightarrow \frac{}{} = \frac{4}{5}\).