Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số \({4^{{{\sin }^2}x}} + {2^{1 + \cos 2x}}\)

Đáp án A

Phương pháp:

+) Sử dụng công thức nhân đôi: \(1 + \cos 2x = 2{\cos ^2}x\)

+) Sử dụng BĐT Co-si cho 2 số \(a,b \ge 0:a + b \ge 2\sqrt {ab} \)

Cách giải:

\({4^{{{\sin }^2}x}} + {2^{1 + \cos 2x}} = {4^{{{\sin }^2}x}} + {2^{2{{\cos }^2}x}} = {4^{{{\sin }^2}x}} + {4^{{{\cos }^2}x}} = \frac{4}{{{4^{{{\cos }^2}x}}}} + {4^{{{\cos }^2}x}}\mathop \ge \limits^{Co - si} 2\sqrt {\frac{4}{{{4^{{{\cos }^2}x}}}}{{.4}^{{{\cos }^2}x}}} = 4\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \frac{4}{{{4^{{{\cos }^2}x}}}} = {4^{{{\cos }^2}x}} \Leftrightarrow {4^{2{{\cos }^2}x}} = 4 \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x = 1 \Leftrightarrow \cos \, = \frac{{ \pm 1}}{{\sqrt 2 }}\)

Vậy \({y_{\min }} = 4 \Rightarrow m = 4\)